ДАЮ 90 БАЛЛОВ Функцію задано формулою f(x)=x-4/3x^3 Знайти критичні точки функції f(x)...

$\displaystyle f(x)=x-\frac{4}{3}x^3; \ f'(x)=1-4x^2$

Для нахождения критических точек ищем корни уравнения $f'(x)=0$

$\displaystyle f'(x)=1-4x^2=0 \Rightarrow 1=4x^2\Rightarrow (2x)^2=1 \Rightarrow 2x=\pm1 \Rightarrow x=\pm\frac{1}{2}$

$f'(x)=1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x+1)(2x-1)$

То есть если знаки расставлять, то получим -+- $(\dfrac{1}{2};+\infty)$

То есть на $(-\infty; -\dfrac{1}{2})$ функция убывает, на $(-\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2})$ возрастает, на $(\dfrac{1}{2};+\infty)$ убывает.

Посчитаем $f(0)=0-\dfrac{4}{3} \cdot 0^3=0;\ f(1)=1-\dfrac{4}{3}\cdot 1^3 =-\dfrac{1}{3} ; \\ f\bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{3} \cdot \bigg(\dfrac{1}{2}\bigg)^3=\dfrac{1}{2}-\dfrac{4}{24}=\dfrac{3}{6}-\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

То есть на отрезке [0;1] $\displaystyle y_{max}=\frac{1}{3}; \displaystyle y_{min}=-\frac{1}{3}$ , точка экстремума $x=\dfrac{1}{2}$

Не на отрезке [0;1] есть ещё точка экстремума $x=-\dfrac{1}{2}$